编者按：罗莫老师证明哥德巴赫猜想有没有更严谨简练的表达？为何论文正规出版1年过去了都没有数学权威出来表态呢？这么高端的难题真的能用貌似并不复杂的数学工具完全解决吗？我们用作者所著的《数学底层引擎相邻论和重合法》（海天出版社）一书中的这篇论文（中英文简报）来回答读者的疑问。该文的表述是严谨简练的，完成多种证法也仅3000多字；至于为何没有数学权威表态，是因为作者发表论文争取的是首发权，而不是影响因子，没有被权威注意是正常的，大佬即便理解了也只能低调表态，毕竟学术成果不是靠权威认可的，并且作者相信，哥猜证明并不晦涩艰难，非数学权威也是能够看懂的，读者认为问题是否已解才是王道；那貌似简单的数学工具真能完成哥猜证明吗？根据奥卡姆剃刀原理，完成一样目标，解决同一问题，工具越简单，该工具就越深刻，因为关联受惠的领域就越多。互异互素思想的强大功能，数学界完全低估了，它必是未来数学发展的重要风向标。
所有的猜想皆可以归约为成长猜想，我是谁，我从哪里来，我到哪里去。
【摘要】：通过证明“整数三元方程若两元互素则三元两两互素及相关推论”的这一组引理成立，再根据可表偶数和例外偶数的定义，证明了“二元加法运算在可表偶数中是封闭的”，于是互异版的哥德巴赫猜想获证，欧拉版哥德巴赫猜想可归约为互异型哥德巴赫猜想。继而孪生素数猜想、斋藤猜想，波利尼亚克、考拉兹猜想、费马猜想、比尔猜想、四色猜想，黎曼猜想也因此可证成立。
【关键词】互异互素；伯特兰定理；三元方程解集互素推论；相邻偶数；哥德巴赫猜想；斋藤猜想；孪生素数猜想；波利尼亚克猜想；考拉兹猜想；黎曼猜想；无穷无漏。
作者/罗莫
1.0.
◎定理：整数三元方程若两元互素则三元两两互素，即 a+b=c，当gcd（a，b）=1，则gcd（b，c）=1，gcd（a，c）=1。
证明：已知 a、b 是一对互素的整数，c是它们的和，即 a+b=c，由于a与b互素，故b与 c以及a与c必互素。假如其中两项非互素，有公约数可约掉，另一项不可约而成真分数，如此就会产生整数与真分数相等，矛盾。故整数三元方程若两元互素则三元两两互素。
高斯开拓了一条用算术统领所有数学的道路，纯粹数学的探索从此开始。
1.1.
◎定理：2n与n之间必有素数（伯特兰-切比雪夫定理的新证法）。
假设2n与n之间存在区间没有素数（n为大于2的所有自然数），可推出2q与q之间存在区间没有素数（q为素数），或2（q+t）与q+t之间存在区间没有素数，t为相邻素数间隔，即ap+bp'=2qλ=2n（任意偶数可互素分割，由1.0的三元互素定理可推理得到），p、p'、q为奇素数，其中a或b≠1，p，p'＜q，说明自然数某些区间以大于2倍的素数相邻比密度递增，这会与自然数n的稠密性相矛盾。因为根据假定性质a或b≠1，p，p'＜q，则p+bp'≠2q，或ap+p'≠2q，或p+p'≠2q，说明2qλ无素数因子可构造（因无二元素数构造的可线性映射的单位元），这与正整数可稠密互素分割相矛盾，2qλ中的特征值λ可以是无限有理数，但2qλ必须是正整数，说明有无数关联正整数因假设2q与q之间存在区间没有素数而无法构造出全部自然数n。于是归谬可证2q与q之间存在区间没有素数是不真的，那么2n与n之间存在无素数区间也是不真的。这说明n与2n之间定有素数，而这正是伯特兰猜想，可见伯特兰猜想可以用三元方程互素性质以及特征值性质得到证明，说明不依赖切比雪夫的证明，伯特兰猜想也是成立的。
数学教皇希尔伯特，我们必须知道，我们必将知道。
1.2.
◎推论：整数三元方程 a+b=c，Ubi、Uai、Uci为三元方程素因子解集，若gcd(Ubai,Ubi)=1，素因子解集gcd(Uci，Ubi），且Ubai≠Uci，Ubai蕴含所有素数因子，则gcd(Uai,Uci)=1。
证明：已知 a、b 是一对互素的整数，c是它们的和，即 a+b=c，由于gcd(Ubai,Ubi)=1，故b与 c以及a与c必每次互素。假如gcd(Ubai,Uci)≠1，那么Ubi,Uci就有公因子，这与已知b中的素因子始终与c中的素因子互素相矛盾，可见gcd(Ubai,Uci)=1；假如gcd(Uai,Uci)≠1，那么Uai,Uci就有公因子，这与gcd(Ubai,Uci)=1，Ubai,≠Uci，Ubai蕴含所有素数因子，相矛盾，于是归谬证明了gcd(Uai,Uci)=1成立。
当ai解集∩ci解集=空集，且ai蕴含所有素因子时，ci始终没有互素因子做单位元，故没有ci通解。假如与ai互异的ci存在，必有a1+b2=c1，a2+b2=c2，a3+b3=c3，a4+b4=c4，……ai+bi=ci，且Uai≠Uci，因为素数因子的集合越大，其所构造的无平方素因子的数集就越大，因为无平方素因子的数集越大，其所蕴含的素数因子的集合就越大；相反因为素数因子的集合越小，其所构造的无平方素因子的数集就越小，因为无平方素因子的数集越小，所蕴含的素数因子的集合越就小。当集合Uai越大，集合Uci就越小。当集合Uai越大为无限集，集合Uci就越小为有限集。集合Uci不可能拥有无限素因子集，因互异分配，Uai已经是无限无漏素因子集。当大拥有全部时，小就只能拥有空集，当Uai蕴含全部素因子时，Uci就只能蕴含空集素因子，……故ai解集与ci解集必互异互素。另外用首项c的数乘替换后继ci，a1+b1=c1，a2+b2=k2c1，a3+b3=k3c1，a4+b4=k4c1，……ai+bi=kic1，且Uai≠Uci，……如此可发现（Uai，Uc1）=1，首项c为空集，首项c的有理数数乘也定是空集，故（Uai，Uci）=1。
三元方程两个重要性质得证：三元方程a+b=c，每次解若一对两元互素，则三元两两互素；三元方程a+b=c，累次解若两对两元解集互素，则第三对也两元解集互素。为空集，首项h的有理数数乘也定是空集，故（Uai，Uci）=1。
三元方程两个重要性质得证：三元方程a+b=c，每次解若一对两元互素，则三元两两互素；三元方程a+b=c，累次解若两对两元解集互素，则第三对也两元解集互素。
极端推崇无用之学的哈代与数学精灵拉马努金。其实数学之无用是一种潜在的超级有用，否则真无意义。
1.3.
◎定理：除0外的自然数必相邻互素，即 m+1=h，m与h必互素。当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，m解集与h解集必互素。
证明：已知 m、h 是一对相邻自然数，即 m+1=h，由于 1 与 m互素，故m与h必互素。假如其中两项非互素，有公约数可约掉，就会产生整数与真分数相等，矛盾。故自然数相邻互素。
当m解集∩h解集=空集，且m蕴含所有素因子时，h始终没有互素因子做单位元，故没有h通解。假如与m互异的h存在，必有m1+1=h1，m2+1=h2，m3+1=h3，m4+1=h4，……mi+1=hi，且Umi≠Uhi，因为素数因子的集合越大，其所构造的无平方素因子的数集就越大，因为无平方素因子的数集越大，其所蕴含的素数因子的集合就越大；相反因为素数因子的集合越小，其所构造的无平方素因子的数集就越小，因为无平方素因子的数集越小，所蕴含的素数因子的集合越就小。当集合Umi越大，集合Uhi就越小。当集合Umi越大为无限集，集合Uhi就越小为有限集。当大拥有全部时，小就只能拥有空集，当Umi蕴含全部素因子时，Uhi就只能蕴含空集素因子，……故m解集与h解集必互异互素。另外用首项h的数乘替换后继h，m1+1=h1，m2+1=k2h1，m3+1=k3h1，m4+1=k4h1，……mi+1=kih1，且Umi≠Uhi，……如此可发现（Umi，Uh1）=1，首项h为空集，首项h的有理数数乘也定是空集，故（Umi，Uhi）=1。
互异的相邻数具有互素性质，这是加性与乘性之间产生迭代关联的原因，作者把这一规律叫着相邻论。（道可道非常道，名可名非常名，德不孤必有邻，法不单仗缘生）
华罗庚，带领中国人关心数论的大家。
1.4.
◎推论：偶数约掉因子2必相邻互素，即2m+2=2n，n与m必互素。如果m解集与n解集互异，m蕴含所有素因子，则m与n也是解集互素。
证明：相邻偶数 2n与2m 约掉 2 因子后是一对相邻自然数，据上文已证定理，n与m 一定是互素的。根据1.2的推论，如果m解集与n解集互异，m蕴含所有素因子，则m与n也是解集互素的。因为m、n分别与1解集互素，且互异，要么m解集与n解集有很多素因子交集，要么m解集与n解集有较少素因子交集。当m蕴含的素因子越多时，m的解集就越大，互异的n解集就越小，其蕴含的素因子就越少，m与n的交集素因子就越少。当m蕴含全部素因子时，n蕴含的素因子就成了空集。故m与n必解集互素。
2.0.
◎定义：除用1外不能等量分割的1的所有后继数叫素数，为了不循环定义，为了遵守戴德金的倒金字塔定义，我们避开了用自身用整数来定义素数，数学是最反内卷的一门学科，素数须有新的定义。当然与原教科书的定义并不冲突，素数是除1和自身外不能被其它整数整除的整数。把该定义理解成是用小整数来定义大整数是可行的，筛法思路就从此而出。两个任意奇素数p与q互异相加所得到的所有偶数2m（其中 m＞ 3）叫可表偶数，也叫基础偶数。与之互异的所有偶数2h叫例外偶数，也叫非基础偶数，是不含基础偶数的通解偶数。比如3+5=8，8就是互异型的可表偶数，3+3=6，6就不是互异型的可表偶数，虽然6是可用两素数之和表达的可表偶数，但本文定义的可表偶数不包含6，仅讨论≥8的所有偶数情形，这是为了让可表偶数能顺利地在彼此互素的本原解方程中进行推演，因为互异版的哥德巴赫猜想比欧拉版的更深刻，互异版成立，欧拉版就成立，欧拉版成立，尚不能推出互异版成立。
对类型偶数进行限制，那二元加法运算在该类型偶数上一定封闭，我们下文就来进行证明。允许扩域和限制，那相应的二元算法必能在相应的数域里封闭，作者把这一规律叫着重合法。(色即是空，空即是色，色不异空，空不异色)
道之所在虽千万人吾往矣，陈景润，一位有专注精神的前辈。
2.1.
◎推论：2m与 p、q 每次三元互素，但三元累积解集彼此一定是非互素的。即m同p、q一样必定蕴含所有奇素因子，且还蕴含偶素因子2。
以下提供该推论的第一种证明方法。
证明：令每次 p>q，且皆为任意奇素数，p、q 的累积解集由定义可知是相同的，皆蕴含所有奇素数，故 p、q 二元累积解集非互素。现假设三元累积解集m欠缺奇素数r，那么这会与p、q含所有奇素数的推论相矛盾。该推论是，根据 p、q皆为奇素数全集，可令其子集不含奇素数 r，r ＜ p，r 就是 p、q的真子集在全集奇素数上的补元，而p+q能生成互素补元因子r，包括2因子，这是由三元互素方程 p+q=2m 的性质决定的。可令方程两边的解集互素，左边的素数解集互素生成了右边的素数解集，即左边为任意奇素数，可取r解集生成右边的非r解集，反过来，也可取非r的解集生成右边的r解集。根据三项互素方程性质，若p+q=p 1 p 2 p 3 ....p i ...p k (不含素数r因子)，则一定p、q ∈ r；同理，若 p，q 不含素数 r，P+Q=p（k+1） p（ k+2） p（ k+3） ...p（ k+n） ，则一定 p（ k+1） ，p（ k+2） ，p（ k+3） ，...，p （k+n） ∈ r，）即新的素数之和必存在P+Q=Πpi+Πpk=R，,则R中的素因子属于r。（斜体字为足码）
因左边 p，q为全集奇素数，故右边m欠缺r因子就会与该结论相矛盾。因此m必定蕴含所有素因子的推论就获得了证明。
2.2.
以下提供该推论的第二种证明方法。
假如可表偶数中不含奇素因子 r，其中 r＜p，由伯特兰 - 切比雪夫定理得到，大于 6 的所有偶数可用三项互素方程表达，即 2n=p+kq，p＞n，当且仅当 k ≠ 1，gcd（r，p）=1，则 2r 是例外偶数，2r=p+kq 必每次三项互素。例外偶数存在本原解，才有更多通解，于是我们来考察有三项互素性质的本原解方程。
为何可表偶数的本原解方程可以每次三元互素但累积解集非三元互素呢？
是因为定义允许p与q解集相等。而例外偶数的本原解方程则要求，不但（2m、p、kq）每次三元互素，且 kq 的每次解还必须与q的所有解互异（k ≠ 1），因互异必互素（kq 满足乘法交换律）。由于可表偶数是任意两奇素数的和，说明kq 同p、q 的所有累积解集仍三元互素。关于会存在累积互素的一个硬核原因，就是k ≠ 1，p会始终大于r中素因子，故p解集与r解集是互素的，另外根据定义p解集与q解集是互素的，在根据1.2推论，r解集与q解集是互素的。
于是可推得p不但同 2r与kq每次互素，且会累积解集三元互素，而生成元p解集是奇素数全集，既然 r与p互素，那r就是奇素数空集，既然 k、q与 p互素，那 k、q 就是奇素数空集。可见本原解非可表偶数2r不存在，其通解自然不存在，于是反证了可表偶数必囊括全部奇素数因子及2素数因子。
素树和偶宿的故事，所有的偶空间，皆来自于二元连接的线性素数。
2.3.
还有第三种证明方法。
根据伯特兰 - 切比雪夫定理，2n=p+kq，其中每次p＞ kq，p、q 是奇素数，k是正整数，n是大于3的所有自然数，由于p＞ n，p不能整除 2n，可知方程必三元互素。根据可表偶数2m=p+q，可判定向量（1，k）的特征值c作用2m会等于向量（1，k）内积于p+q，即会共同等于2n。如此可知，不小于8的所有偶数 2n就是可表偶数2m的数乘值2mc，当且仅当有理数 c≠ 1，k≠1时，2mc=p+kq 就是例外偶数。
为何c是有理数？因为 2m∈2n，根据唯一析因定理，在2m的基础上通过作用c=x/y ≠ 1，即通过添加分子x因子或删减分母y因子就能得到全部2n，故构造例外偶数的c是非1有理数。而 2m是从所有奇素数中两两相加构造得到的，每次都会产生互素因子，且至少有一个奇素因子或至少有两个 2 因子，总之m不会等于 1。
关键点是，c=x/y ≠ 1 必须同大于中值数的某一奇素数p每次互素，且须同任意奇素数p累积互素，有一次非互素都会 c=1，k=1，q=p，这与例外偶数的定义矛盾。既然c同任意奇素数p累积互素，那么m与任意奇素数p也须累积互素，在例外偶数2mc 中，m与c 满足乘法交换律。可见所有的2p与例外偶数2mc 在奇素因子种类上须累积互异。
例外偶数的素因子个数因互异至少要大于2个奇素数或3个偶素数或更多个，那所有奇素数的两倍2p就不可能是例外偶数。同样例外偶数的素因子个数因互异至少要小于2个奇素数或 3个偶素数或更少个。那所有奇素数的两倍2p 就不可能是例外偶数。可见2p与例外偶数2mc在素因子个数上须累积互异。
这样可表偶数2m就包含了所有2p，当然也就蕴含了所有的素数因子。
2.4.
素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭，这一结论还有第四种证明。
若互异型可表偶数 2m=p+q，p、q 为互异奇素数，则 rad（p+q）中的所有奇素数因子集合，与 p、q 中的所有奇素数因子集合等价。
证明如下：
令 2m（含 2p 亦含 2^ w ）为互异型可表偶数，它是能用两互异奇素数之和表达的偶数，2p' 为例外偶数，它是不能用两互异奇素数之和表达的偶数，p、p'为互异奇素数，它们的并集须囊括所有奇素数q。那么必有2p'-2p=2t，p'与p因互异而互素，根据三元方程若两元互素必三元两两互素的性质，p与t必互素，p' 与 t 必互素。
由于构造t的素因子始终要与p及p'互素，其累积结果，导致要与所有的奇素数互素。该结论可由1.2中的三元方程解集互素推论证得，2p'-2p=2t为三元方程，p'-p=t，因p'与p是互异素数，因互异而互素，故三元方程p'-p=t每次解存在三元两两互素，累次解存在p'与p解集互素（由定义得到）。而p'素数将始终大于t中的素因子，因为可由伯特兰定理得到，若p与2p之间存在例外偶数 2p'所对应的例外素数 p'，p'将大于t中的素因子，如此t解集也就与不大于p的解集互素，由于每次p与2p的新增素数区间若存在例外素数，都必与间隔差2t中的t互素，且知t为偶数，p'素数将始终大于t中的素因子就得证。于是符合了1.2中的三元方程解集互素推论，即p'与p解集互素（由例外素数定义可知），p'与t解集互素（由伯特兰定理t与2t之间必有素数可定义），那么p，p'与t必解集互异，因t的互异域蕴含了所有的素因子，t无因子可构造必与p解集互素（由三元方程解集互素推论推得），如此就证明了解集Ut中的素因子与解集Up'和Up都互素，而Up'Up是蕴含所有素因子的，于是t就没有奇素因子可构造，加上2p'-2 ^w =2t，t与偶素数2也互素，故例外偶数 2p' 不存在。因为所有奇素数q的2倍，定是互异型可表偶数 2p以及互异型非可表偶数2p'的并集，意味着t要始终与所有的奇素数及偶素数互素。
因此2t就不存在，故2p=2q，所有素数的两倍2q必为互异型可表偶数。如此就证明了互异型可表偶数2m包含了所有奇素数q的两倍。素数二元相加再分解运算在所有奇素数因子集上封闭得证。
也就是说，例外的（2r）都不存在（心外无物），存在的（2p）都不例外（法不离心），无时间必无空间，有空间必有时间，无空间不一定无时间。悟能觉迷，迷不觉悟。
3.0.
◎定理：例外偶数是空集。
证明：与可表偶数互异存在的例外偶数，因互异而至少有例外偶数首项生成元与可表偶数相邻，例外偶数与可表偶数之间以及例外偶数与不同例外偶数之间，因须首项偶数相邻互素，故始终没有非2公约数，例外偶数首项生成元与可表偶数因互异而必有首项相邻，因相邻而必须m与h互素（自然数相邻互素定理已证）。
而上文2.4已证明，可表偶数2m中的m蕴含所有素因子，h既然要与所有的素因子累积互素，关于存在累积互素的结论，可由1.2的三元方程解集互素推论证得，在三元方程m+1=h中，由于解集m与1互素，解集h与1互素，故解集m必与解集h互素。例外偶数中的h为何会同可表偶数中的m全集互素？简单地说就是，约掉2因子后，例外偶数只要同第一个可表偶数互素，就会同第二个可表偶数互素，只要同第二个可表偶数互素，就会同第三个可表偶数互素，……也就是同Π（2mi）互素，导致无素因子可构造h。互素一定互异，互异未必互素，但首个相邻互异则一定会互素，即例外偶数遭到了所有的可表偶数挤兑，有一个素因子不挤兑都有素因子可构造，例外偶数因遭可表偶数中的素因子全面围剿，故净身出户。
h就不存在能超越素数全集的新增素数因子，故首项例外偶数2h中的h无素数因子可构造，因此首项例外偶数2h是空集，偶数0不是空集，既然无首项例外偶数，当然也就不存在后继例外偶数。故例外偶数是空集。
总结下就是，因两类偶数互异，c不等于1，导致例外偶数与可表偶数不但会在素数个数上无穷无漏互异，还会在素数种类上无穷无漏互异。例外偶数通过与可表偶数在两类性质上区分，从而被判定为空集。
回归用代数手段，通过证明例外集合是空集来完成证明哥德巴赫猜想，才不至于骑驴找驴。
3.1.
◎定理：不小于 8 的所有偶数皆可表为两互异奇素数之和（哥德巴赫猜想的归约命题）。
证明：既然例外偶数2h是空集，根据不小于8的所有偶数2n等于可表偶数2m与例外偶数 2h的两类偶数并集，可推得不小于8的所有偶数2n与可表偶数2m是无缝重合，是完全同构的，故不小于8的所有偶数2n也就同可表偶数2m一样，与两互异奇素数之和p+q同构，互异版哥德巴赫猜想获证。补上非互异版的 3+3=6，欧拉版哥德巴赫猜想也就获证。
注意直接证明欧拉版的哥德巴赫猜想可以不需要证明2.0到2.4，因为2P就是欧拉版的可表偶数，2p=p+p，即可表偶数一定蕴含所有素数因子的可表偶数，可直接用1.0到1.4以及3.0，3.1来证明，但欧拉版获证不及互异版获证更有意义，因为所有大于6的偶数都有共轭素数对，且共轭差都大于0，意味着可用p以内的素数进行二元加性表达找到新增素数是确定的，而欧拉版是不能确定的，互异版获证是寻找素数分布的一次重大进展。
以往数学家攻克哥德巴赫猜想大多把注意力都用在了先解决哥德巴赫猜想的推论命题，如1920年挪威数学家布朗开创的“a+b”思路，解决了“9+9”，把这一思路做到极致的是陈景润，陈景润拿下了“1+2”，可不回到“1+1”，那都是哥猜的推论，虽有进展，那也是隔靴搔痒。另外，1930 年苏联数学家什尼尔列曼开始寻找另一个思路，用k个素数之和表达偶数，可把它叫着“1+1+1+1……”问题，也仍是哥德巴赫猜想的推论命题。这一思路陶哲轩做得最好，他减少到了用不超过5个素数表示大于1的自然数，且去掉了充分大这样一个需要大量验证的定义域条件限制。可为何不直接关心哥德巴赫猜想的归约命题呢？
带着这样的初心，本文作者找到了哥德巴赫猜想的归约命题，互异型哥德巴赫猜想，不小于8的每个偶数都可用一对互异的奇素数之和表达，比欧拉版哥猜的混搭型要条件苛刻得多。为何哥德巴赫猜想找不到反例？为何用两互异奇素数之和不能表达的例外偶数是空集？到此可用一句话总结了：是因为例外偶数与可表偶数全体互异必带来相邻互素，而相邻互素必导致无素因子可构造例外偶数。这就是哥德巴赫猜想成立的根本原因。
现填词“江城子-心之算力即时间”以记猜想可破也。
沧海桑田移星斗，阅春秋，观潮流。春蚕吐丝，编织好时候。为摘日月登高楼，思宇宙，在乎手。
人生几何算哪头，读范畴，分奇偶。相邻互素，哥猜能证否。例外集合空自守，两素数，可表偶。
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